Question

в равнобедренном треугольнике точка касания вписанной окружности делит боковую сторону на отрезки имеющие длину 30 см и 50 см. Какова наибольшая возможная величина радиуса такой окружности.

Answer 1

Объяснение:

к сожалению, дана точка касания, и благодаря этому, мы сможем найти радиус окружности:

1) Мы знаем, что отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны =>

Обзовем треугольник, треугольником ABC, где AB=BC и точки касания F, L, K: AF=AK=50; FB=BL= 30; LC=CK=50 => боковые стороны AB и BC = 50+30 = 80, а основание равно AC = 50+50=100

БИНГО! - у нас есть р/б треугольник и мы о нём почти всё теперь знаем. Ну разве не прекрасно ли это?

2) Теперь нам захотелось найти радиус

он находится по формуле:

$r = \sqrt{ \frac{(p - a)(p - a)(p - b)}{p} }$

где

$p = \frac{1}{2} (a + a + b) = a + \frac{b}{2}$

подставляем:

p=80+100/2= 130

r= √(50*50*30/130) ≈ 24,0192230....

Ну, мы случайно нашли радиус этой самой окружности. Наверное, уж точно больше чем 24,0192230.... она быть не может.

- ахх, хочется плакать

Answer 2

рассмотрим два случая.

1. когда точка касания окружности , вписанной в равнобедренный треугольник , делит одну из боковых сторон на отрезки , равные 30 см и 50см , считая от основания. Тогда радиус найдем как площадь треугольника деленная на полупериметр треугольника.

Если провести касательные к одной окружности, из одной точки, то до  точек касания расстояния равны. основание равно 30+30=60/см/, две боковые стороны по 30+50=80/см/, полупериметр равен (2*80+60)/2=80+30=110/см/, площадь равна половине произведения основания на высоту, которую ищем по теореме Пифагора.

√(80²-30²)=√(110*50)=10√55, площадь 10√55*30=300√55, радиус равен 300√55/110≈20.23/см/

2.когда точка касания окружности , вписанной в равнобедренный треугольник , делит одну из боковых сторон на отрезки , равные 30 см и 50см , считая от вершины. Рассуждая аналогично, получим, что

основание равно 50+50=100/см/, две боковые стороны по 30+50=80/см/, полупериметр равен (2*80+2*50)/2=80+50=130/см/,  высоту ищем по теореме Пифагора.

√(80²-50²)=√(130*30)=10√39, площадь 50*10√39=500√39, радиус равен 500√39/130≈24.02/см/

Других случаев не вижу, из этих двух наибольшая возможная величина радиуса окружности равна 24.02см