Question

Числа х,у,z таковы что х^2+3y^2+z^2=2 Какое наибольшее целое значение может принимать выражение 2х+y-z.

Answer 1

Как вы сказали вам нужно любое решение этой задачи пока не придумал более школьного! 
Решение: Достаточно найти вообще наибольшее значение которое может принимать это выражение затем просто отсеить целое!  
$x^2+3y^2+z^2=2\ z=sqrt{2-x^2-3y^2}$

Теперь рассмотрим выражение $f(x;y;z)=2x+y-z$ как функцию! 
подставим в наше и получим уже функцию с двумя переменным 
$f(x;y)=2x+y-sqrt{2-x^2-3y^2}$

Такую задачу решим как нахождение экстремума нескольких функций! 
Найдем частные производные 
$frac{dz}{dx}=frac{x}{sqrt{-x^2-3y^2+2}}+2\ frac{dz}{dy}=frac{3y}{sqrt{-x^2-3y^2+2}}+1$

Теперь  решим систему и найдем  точки 
$left { {{frac{x}{sqrt{-x^2-3y^2+2}}+2=0\ } atop frac{3y}{sqrt{-x^2-3y^2+2}}+1=0\}} right. \ \ zamena\ sqrt{-x^2-3y^2+2}=t\ \ frac{x}{t}=-2\ frac{3y}{t}=-1\ \ frac{x}{2}=3y\ x=6y$
потом подставим найдем х , и в итоге будет 6 точек ! 
основные такие две  $x=-sqrt{frac{3}{2}}\ y=-frac{1}{2sqrt{6}}$

Теперь находя производные второго и третьего порядка , я сделал вычисления 
главное найти смешанное  производную 
$frac{d^2z}{dxdy}=frac{3xy}{(-x^2-3y^2+2)^{frac{3}{2}}}$
Я уже проверил сходимость по формуле 
подставим наши значение и получим $frac{4sqrt{3}}{6}$