Question

4.* Квантик и Ноутик хотят показать такой фокус. Зритель задумывает два
натуральных числа: n и n^2, затем сообщает одно из них Ноутику, а другое Квантику. После этого Квантик показывает Ноутику черную или белую карточку, и Ноутик сразу угадывает число Квантика. Помогите Квантику и Ноутику
договориться о своих действиях, чтобы фокус всегда удавался.

Answer 1

Пусть Квантик извлекает корни из своего числа до тех пор, пока не получится не квадрат. Пусть он сделал это $i$ раз. То же самое проделывает Ноутик. Пусть он сделал это $j$ раз. Понятно, что $i$ и  $j$отличаются на 1, следовательно разной четности. Квантик и Ноутик знают четности своих чисел, а, значит, знают четности друг друга. Обозначать это карточкой нет смысла.

Теперь правила следующие:

Если остаток от деления $i$ на 4 больше 1, то Квантик показывает черную карточку, в противном случае белую (если оно делится на 4, то остаток считаем нулевым). Тем самым, зная, что $|i-j|=1$, Ноутик догадывается чему равно значение $i$. Затем он сравнивает $i,j$ и из первоначального числа извлекает корень, если $i<j$ и возводит в квадрат в противном случае.