Question

Докажите, что при любом n число 2n^6-n^4-n^2 кратно 36

Answer 1

$2n^6-n^4-n^2=n^2(2n^4-n^2-1)=n^2(2n^4-2n^3+2n^3-2n^2+n^2-\\ \\ -n+n-1)=n^2\Big(2n^3(n-1)+2n^2(n-1)+n(n-1)+n-1\Big)=\\ \\ =n^2(n-1)(2n^3+2n^2+n+1)=n^2(n-1)\Big(2n^2(n+1)+n+1\Big)=\\ \\ =n^2(n-1)(n+1)(2n^2+1)$

Данное число 36 можно представить как 36 = 2 * 2 * 3 * 3.

$n(n-1)(n+1)$ — произведение трех последовательных чисел, т.е. среди этих чисел найдется по крайней мере одно четное число и хоть одно число точно делится на 3.

Если n - делится на 3, то и произведение $n\cdot n=n^2$ делится на 3, значит все число тоже делится на 3. Если один из чисел (n-1) и (n+1) делится на 3, то их произведение $(n^2-1)$ также делится на 3, тогда $2(n^2-1)$ тоже делится на 3 и следует деление на 3 $2(n^2-1)+3=2n^2+1$. Таким образом, данное выражение делится на 36 при любом n.

Answer 2

Відповідь:

Пояснення:

Для того, щоб число ділилось на 36, потрібно довести подільність на 4 и 9.

2n⁶-n⁴-n²=n²(2n⁴-n²-1)=n²(n²-1)(2n²+1)=n²(n-1)(n+1)(3n²-(n²-1))=

=(n-1)n(n+1)(3n³-(n-1)n(n+1)).

Якщо n - парне, то через множник n², весь вираз ділиться на 4.

Якщо n - непарне, то відповідно n-1 и n+1 -  парні і знову все кратно 4.

(n-1)n(n+1) - добуток трьох послідовних чисел, тобто кратно 3.

Тому і  3n³-(n-1)n(n+1) - теж ділиться на 3, а отже, все кратно 9.