Question

Найти производную, применив логарифмическое дифференцирование:
у=x^(lnx)

Answer 1

$y=x^{\ln x}$

Прологарифмируем обе части:

$\ln y=\ln x^{\ln x}$

В правой части применим свойство логарифма:

$\ln y=\ln x\cdot\ln x\\\ln y=(\ln x)^2$

Продифференцируем обе части:

$(\ln y)'=((\ln x)^2)'$

Находим производные, учитывая то, что в обеих частях расположены сложные функции:

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=2\ln x\cdot(\ln x)'$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=2\ln x\cdot\dfrac{1}{x}$

Выразим производную:

$y'=\dfrac{2\ln x}{x}\cdot y$

Подставим выражение для у:

$y'=\dfrac{2\ln x}{x}\cdot x^{\ln x}$

Можно применить формулу деления степеней:

$y'=2x^{\ln x-1}\ln x$