Число A состоит из девяти ненулевых цифр. К нему прибавили восьмизначное число, состоящее из одинаковых цифр. В результате получилось девятизначное число B. Оказалось, что число B может быть получено из числа A перестановкой некоторых цифр. На какую наименьшую цифру может начинаться число B, если последняя цифра числа A равна 6?
Ответы
Ответ:
6
Пошаговое объяснение:
Число A состоит из девяти ненулевых цифр и последняя цифра числа A равна 6. Тогда сумма цифр числа А: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Пусть этими цифрами будут: A=abcdefgh6.
К нему прибавили восьмизначное число C, состоящее из одинаковых цифр: C=xxxxxxxx=11111111•x.
В результате получилось девятизначное число B, которое может быть получено из числа A перестановкой некоторых цифр, то есть сумма цифр числа B также 45.
Так как сумма цифр чисел A и B равна 45, то, по признаку делимости на 9, оба числа делятся на 9, и как следствие этого, их разность B-A также делится на 9. Но
B-A = C = xxxxxxxx = 11111111•x,
то есть и число 11111111•x также должен делится на 9. В произведении число 11111111 (сумма цифр равна 8) не делится на 9, так что цифра x должен делится на 9. Но такая цифра только одна: 9.
Первую цифру числа B обозначим через Y. Так как 6+9=15, то все остальные цифры, кроме последней, обозначим звёздочками.
Для наглядности сумму запишем столбиком:
₊abcdefgh6
99999999
Y* * * * * * * 5
Все цифры числа A больше нуля, поэтому в сумме с цифрой 9 и из-за перехода 1 с предыдущей суммы цифр получим число большее 10. Так как цифра 5 в цифрах числа B уже занято, то все цифры bcdefgh числа A не могут быть равной 5. В противном случае, если одна из них равна 5, то получим в сумме с этой цифрой 5 числа A c 9 числа B и числом 1, которая переходит с предыдущей суммы цифр получим 15, что не возможно.
Значит все цифры числа A, кроме первой не могут быть равными 5. Так как число A состоит из девяти ненулевых цифр, то первая цифра числа А должна быть 5.
Отсюда, 5+1=6 и первая цифра числа В - это 6.