Question

Знайдіть площу трикутника ,утвореного дотичними до графіка функції y=x^3-3x^2-1, провединими в точках з абсцисами x1=1; x2=-1; x3=0. Будь ласка

Answer 1

$f(x)=x^3-3x^2-1;x_1=1;x_2=-1;x_3=0\\f'(x)=3x^2-6x$

$y_{kx_1}=f'(x_1)(x-x_1)+f(x_1)=\\(3*1^2-6*1)(x-1)+(1^3-3*1^2-1)=\\-3(x-1)-3=-3x\\\\y_{kx_2}=f'(x_2)(x-x_2)+f(x_2)=\\(3*(-1)^2-6*(-1))(x+1)+((-1)^3-3*(-1)^2-1)=\\9(x+1)-5=9x+4\\\\y_{kx_3}=f'(x_3)(x-x_3)+f(x_3)=\\(3*0^2-6*0)(x-0)+(0^3-3*0-1)=\\0*x-1=-1$

Построим прямые на координатной плоскости (по двум точкам).

Смотри вниз.

Найдём площадь через высоту треугольника и его основание. Основание параллельно оси Ох, поэтому высота будет параллельна оси Оу и всё просто. Если, что основанием я обозначил ту сторону треугольника, которая самая нижняя.

H-высота, l-основание, S-площадь.

$9x+4=-3x;x=\frac{-4}{12}=\frac{-1}{3};\\\\y=-3*\frac{-1}{3}=1,(-\frac{1}{3};1)\\\\H=|1-(-1)|=2\\\\9x+4=-1;x=\frac{-5}{9}\\\\-3x=-1;x=\frac{1}{3}\\\\l=|-\frac{5}{9}-\frac{1}{3}|=\frac{5+3}{9}=\frac{8}{9}\\\\S=\frac{1}{2}*\frac{8}{9}*2=\frac{8}{9}$

Ответ: 8/9.