Question

log2(14-14x)>=log2(x^2-5x+3) + log2(x+5)
попалось вот такое на егэ, проверьте, правильно ли решил.
одз: (-5;1)
log2(14-14x)>=log2((x-1)(x-4)(x+5))
применил метод рационализации
(2-1)(14-14х-(х-1)(х-4)(х+5))>=0
рассм. функцию y=14-14x-(x-1)(x-4)(x+5) - непрерывная на D(y)=R функция
её нули : 14-14x-(x-1)(x-4)(x+5)=0
вот тут я затупил и не знал, как это разрешить, так что просто скобки раскрыл и подбором нашёл два корня : 1 и 2
на числовой прямой нарисовал, подставил в уравнение и получился ответ [1;2] , и в системе с одз это не даёт корней.

Answer 1

log(2) (14 - 14x) >= log (2) (x^2 -5x + 4) + log (2) (x+5)

log(a) b   ОДЗ  a>0 b>0 a≠1

итак ищем ОДЗ тело логарифма больше 0

1. 14 - 14x > 0   x < 1

2. x^2 - 5x + 4 > 0

D = 25 - 16 = 9

x12=(5+-3)/2=4 1

(х - 1)(х - 4) > 0

x∈ (-∞  1) U (4  +∞)

3. x + 5 > 0   x > -5

ОДЗ x∈(-5  1)

так как основание логарифма больше 1, знак не меняется

Метод рационализации он обычно применяется, когда основание неизвестно, когда оно известно больше 1 или нет, то просто снимаем логарифмы

14 - 14x ≥ (x^2 - 5x + 4)(x + 5)

14(1 - x) ≥ (x - 1)(x - 4)(x + 5)

14(x - 1) + (x - 1)(x - 5)(x + 4) ≤ 0

(x - 1)(x² - x - 20 + 14) ≤ 0

(x - 1)(x² - x - 6) ≤ 0

D = 1 + 24 = 25

x12=(1+-5)/2 = 3  -2

(x - 1)(x - 3)(x + 2) ≤ 0

применяем метод интервалов

-------------------[-2] +++++++++[1] --------------[3] ++++++++++

x ∈(-∞ -2] U [1  3] пересекаем с ОДЗ x∈(-5  1)

Ответ x∈(-5  -2]