высота прямоугольного треугольника проведенная к гипотенузе равна 3 см найди гипотенузу если один из острых углов равен 15
Ответы
Ответ:
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12 см
Примечание:
По формуле преобразования произведения в сумму:
sin x * sin y = 0,5 * (cos(x - y) - cos(x + y))
sin 75° * sin 15° = 0,5 * (cos(75° - 15°) - cos(75° + 15°)) =
= 0,5 * (cos 60° - cos 90°) = 0,5 * (0,5 - 0) = 0,25
Объяснение:
Дано: ∠ACB = 90°, CK ⊥ AB, CK = 3 см, ∠CAB = 15°
Найти: CK - ?
Решение:
Пусть S - площадь треугольника ΔABC.
По теореме про сумму углов треугольника (ΔABC):
∠ACB + ∠CAB + ∠ABC = 180° ⇒ ∠ABC = 180° - ∠ACB - ∠CAB =
= 180° - 90° - 15° = 90° - 15° = 75°.
По свойствам прямоугольного треугольника его гипотенуза равна двум радиусам описанной окружности, тогда для треугольника ΔABC (по условию угол ∠ACB = 90°), тогда AB = 2R, где R - радиус окружности описанной около треугольника ΔABC.
По формуле площади треугольника (ΔABC):
- S = 0,5 * CK * AB = 0,5 * CK * 2R = CK * R
- S = 2R² * sin ∠ACB * sin ∠CAB * sin ∠ABC = =2R² * sin 90° * sin 15° * sin75° = 2R² * sin 15° * sin 75°
Приравняем выражение с помощью которых была выражена площадь:
CK * R = 2R² * sin 15° * sin 75°| :R
CK = 2R * 0,25
CK = 0,5R ⇒ R = CK : 0,5 = 3 : 0,5 = 6 см
Так как AB = 2R, то AB = 2 * 6 = 12 см.
#SPJ1
