Question

Решите неравенство .ЕГЭ

Answer 1

$\dfrac{2}{\log_{2}x}+\dfrac{5}{\log^{2}_{2}x-\log_{2}x^{3}}\leq \dfrac{\log_{2}x}{\log_{2}\left(\dfrac{x}{8}\right)}$

Заметим, что можно выполнить некие равносильные преобразования

$\log_{2}x^{3}\Leftrightarrow 3\log_{2}x;~\log_{2}\left(\dfrac{x}{8}\right)\Leftrightarrow\log_{2}x-\log_{2}8=\log_{2}x-3$

Тогда, пусть  $\log_{2}x=t$

$\dfrac{2}{t}+\dfrac{5}{t^2-3t}\leq \dfrac{t}{t-3}\bigskip\\\dfrac{2(t-3)+5-t^2}{t(t-3)}\leq 0~|:(-1)\bigskip\\\dfrac{t^2-2t+6-t}{t(t-3)}\geq 0\bigskip\\\dfrac{\left(t-1\right)^2}{t(t-3)}\geq 0\Leftrightarrow t\in\left(-\infty;0\right)\cup\left\{1\right\}\cup\left(3;+\infty\right)$

Перейдём обратно к иксу

$\log_{2}x\in\left(-\infty;0\right)\cup\left\{1\right\}\cup\left(3;+\infty\right)\Leftrightarrow x\in\left(0;1\right)\cup\{2\}\cup\left(8;+\infty\right)$

Ответ.  $x\in\left(0;1\right)\cup\{2\}\cup\left(8;+\infty\right)$