Question

Решите пожалуйста тригонометрическое уравнение:
cos(240-a) - 16*cos(a) = -30
Найти градусную меру угла a.

Answer 1

Исправленное условие тригонометрического уравнения

cos (240°-α) - 16·cos α = -15     | ×(-1)

-cos (180° + 60° - α) + 16 cos α = 15

cos (60° - α) + 16 cos α = 15

$\cos 60\textdegree \cos \alpha + \sin 60\textdegree \sin \alpha +16\cos \alpha =15 \\\\ \dfrac12\cos \alpha +\dfrac{\sqrt3}2\sin \alpha + 16\cos \alpha =15 ~~~| \cdot 2\\\\ \cos \alpha +\sqrt3\sin \alpha +32\cos \alpha =30\\\\ 33\cos\alpha +\sqrt3\sin \alpha =30$

Разделим все уравнение на выражение

$\sqrt{33^2+\sqrt3^2}=\sqrt{1092}=2\sqrt{273}$

$\dfrac{33}{2\sqrt{273}}\cos\alpha +\dfrac{\sqrt3}{2\sqrt{273}}\sin \alpha =\dfrac{30}{2\sqrt{273}}$

Чтобы воспользоваться формулой

sin x cos y + sin y cos x = sin (x + y)  

введем вспомогательный угол  $\beta \in \Big(0;\dfrac{\pi}2\Big)$ , для которого

$\sin \beta =\dfrac{33}{2\sqrt{273}};~~~\cos \beta = \dfrac{\sqrt 3}{2\sqrt{273}}$

$\sin \beta \cos \alpha + \cos \beta \sin \alpha =\dfrac{30}{2\sqrt{273}}\\\\ \sin (\alpha +\beta )=\dfrac{15}{\sqrt{273}}\\\\ \alpha +\beta =(-1)^n \arcsin \Big(\dfrac{15}{\sqrt{273}}\Big)+\pi n,~~n\in Z\\\\\\ \boldsymbol{\alpha =(-1)^n \arcsin \Big(\dfrac{15}{\sqrt{273}}\Big)-\beta +\pi n,~~n\in Z}$

где угол β определен следующим образом:

$\sin \beta =\dfrac{33}{2\sqrt{273}};~~~\cos \beta = \dfrac{\sqrt 3}{2\sqrt{273}}=\dfrac 1{2\sqrt{91}};~~~\beta \in \Big(0;\dfrac{\pi}2\Big)$

Ответ:

$\boxed{\boldsymbol{\alpha =(-1)^n \arcsin \Big(\dfrac{15}{\sqrt{273}}\Big)-\arcsin \Big(\dfrac{33}{2\sqrt{273}}\Big) +\pi n,~~n\in Z}}$