Question

решить уравнение: (x-6)^6+(x-4)^6=64

Answer 1

Рассмотрим функцию $f(x)=(x-4)^6+(x-6)^6;$ уравнение принимает вид f(x)=64. Исследуем функцию на монотонность с помощью производной:

$f'(x)=6(x-4)^5+6(x-6)^5.$ Найдем нули производной:

$6(x-4)^5+6(x-6)^5=0;\ (x-6)^5=(4-x)^5;\ x-6=4-x;\ x=5.$

Подставив в производную x=4<5, убеждаемся, что она отрицательна, то есть функция слева от 5 убывает. Подставив в производную x=6>5, убеждаемся, что она положительна, то есть функция справа от 5 возрастает. Следовательно, слева от 5 уравнение имеет не больше одного решения, точно так же справа от 5 уравнение имеет не больше одного решения. Эти решения легко угадываются: x=4 и x=6.

Ответ: $\{4;\ 6\}$

Замечание. Альтернативный способ решения - сделать замену x-5=t, после чего возвести (t-1) и (t+1) в шестую степень.