Question

Найдите значение выражения $\frac{1}{x^{2}_{1}}+\frac{1}{x^{2}_{2}}$ , где x1 и x2 - корни уравнения $7x^{2} +x-1=0$

Answer 1

По теореме Виета для квадратного уравнения: ах²+bx+c=0 с корнями x1 и x2 верны равенства:

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ \\ x_{1} \times x_{2} = \frac{c}{a}$
В данном случае

$x_{1} + x_{2} = - \frac{1}{7} \\ \\ x_{1} \times x_{2} = - \frac{1}{7}$
Преобразуем исходное выражение:

$\frac{1}{x_{1} ^{2} } + \frac{1}{x_{2} ^{2} } = \frac{x_{2} ^{2} +x_{1} ^{2} }{x_{1} ^{2} \times x_{2} ^{2} } = \frac{x_{2} ^{2} +x_{1} ^{2} + 2x_{1}x_{2} - 2x_{1}x_{2}}{x_{1} ^{2} x_{2} ^{2} } = \\ \\ = \frac{(x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2} }{(x_{1} x_{2}) ^{2} } = \frac{( - \frac{1}{7} {)}^{2} + 2 \times \frac{1}{7} }{( - \frac{1}{7} {)}^{2} } = \frac{ \frac{1}{49} + \frac{2}{7} }{ \frac{1}{49} } = \\ \\ = \frac{ \frac{1 + 14}{49} }{ \frac{1}{49} } = \frac{15}{49} \times 49 = 15$
Ответ: 15