Question

Вычислить определенный интеграл: $\int\limits^\pi_0 {\frac{dx}{3+cosx}} \,$
Напишите подробное решение

Answer 1

делаем универсальную тригонометрическую подстановку:

$\begin{vmatrix} tg\frac{x}{2}=t \\ \\ cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2} \\\\ dx=\frac{2dt}{1+t^2} \\ \\t_1=tg\frac{0}{2}=0 \\ \\ t_2=tg\frac{\pi}{2}\rightarrow \infty \end{vmatrix}$

$\int\limits^\pi_0 \frac{dx}{3+cosx} =\int\limits^\infty_0 \ \frac{1}{3+\frac{1-t^2}{1+t^2}} *\frac{2dt}{1+t^2}= \int\limits^\infty_0 \frac{2dt}{3(1+t^2)+1-t^2}=\int\limits^\infty_0 \frac{2dt}{3+3t^2+1-t^2} = \\ \\ =\int\limits^\infty_0 \frac{2dt}{2t^2+4}=\int\limits^\infty_0 \frac{2dt}{2(t^2+2)}=\int\limits^\infty_0 \frac{dt}{t^2+(\sqrt{2})^2}= \frac{1}{\sqrt{2}} \lim_{b \to \infty} arctg\frac{t}{\sqrt{2}} \ \ |^b_0=$

$=\frac{1}{\sqrt{2}} \lim_{b \to \infty} (arctg\frac{b}{\sqrt{2}} -arctg0) \ \ |^b_0= \frac{1}{\sqrt{2}}*arctg \infty =\frac{1}{\sqrt{2}}*\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2\sqrt{2}} \\ \\ OTBET: \ \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$