Question

не могу понять как решить эту задачу

Answer 1

А)
$\frac{ {(x - 2)}^{2} }{2} + \frac{18}{ {(x - 2)}^{2} } = 7( \frac{x - 2}{2} - \frac{3}{x - 2} ) + 10$

О.Д.З. : х ≠ 2

Сделаем замену : Пусть

$\frac{x - 2}{2} - \frac{3}{x - 2} = t$
Возведем обе части в квадрат:

$\frac{ {(x - 2)}^{2} }{4} - 3 + \frac{9}{ {(x - 2)}^{2} } = {t}^{2} \\ \\ \frac{ {(x - 2)}^{2} }{4} + \frac{9}{ {(x - 2)}^{2} } = {t}^{2} + 3$

Домножим обе части уравнения на 2 :

( х - 2 )²/ 2 + 18/ ( х - 2 )² = 2( t² + 3 )


Подставляем в исходное уравнение :

$2( {t}^{2} + 3) = 7 t + 10 \\ \\ 2 {t}^{2} - 7t - 4 = 0 \\ \\ 1) \: t = - \frac{1}{2} \\ 2) \: t = 4$

Обратная замена:

$1) \: t = - \frac{1}{2} \\ \\ \frac{x - 2}{2} - \frac{3}{x - 2} = - \frac{1}{2}$

Домножим на 2( х - 2) :

${(x - 2)}^{2} - 6 = - (x - 2) \\ {x}^{2} - 3x + 4 = 0 \\ \\ x = - 1 \\ x = - 4$

$2) \: t = 4 \\ \\ \frac{x - 2}{2} - \frac{3}{x - 2} = 4$

Домножи на 2( х - 2 ) :

${(x - 2)}^{2} - 6 = 8(x - 2) \\ \\ {x }^{2} - 12x + 14 = 0 \\ \\ x = 6 - \sqrt{22} \\ x = 6 + \sqrt{22}$

Б ) [ - 2 ; 2 ]

Для начала сравним найденные корни и покажем их на числовой прямой:

$\sqrt{16} < \sqrt{22} < \sqrt{25} \\ 4 < \sqrt{22} < 5 \\ 10 < 6 + \sqrt{22} < 11 \\ \\ \\ 4 < \sqrt{22} < 5 \\ - 5 < - \sqrt{22} < - 4 \\ 1 < 6 - \sqrt{22} < 2$

____• [ -2 ]____• [ - 1 ]_____•[ 6 - √22 ]______• [ 2 ]_______• [ 4 ]_______• [ 6 + √22 ]_____ Х

Принадлежат данному промежутку только корни -1 и 6 - √22

ОТВЕТ: а) - 1 ; 4 ; 6 - √22 ; 6 + √22 ; б) - 1 ; 6 - √22