Найдите значение параметра а, при котором множество всех решений неравенства: √x^2+2x<√a+2x-1 составляет промежуток [0;√3)
Ответы
√(x² + 2x) < √(a + 2x - 1)
x² + 2x ≥ 0
x² + 2x < a + 2x - 1
x(x + 2) ≥ 0
x² < a - 1
x ∈ (-∞; -2] ∪ [0; +∞)
x ∈ (-√(a - 1); √(a - 1))
Поскольку решением системы являтся промежуток: х ∈ [0; √3), получаем:
√(a - 1) = √3
a - 1 = 3
а = 4
√(x²+2x)<√(a+2x-1)
ОДЗ:
x²+2x>0
x(x+2)>0
x∈(-∞;-2)U(0:+∞)
И еще условие:
a+2x-1>0 <=> a>1-2x
√(x²+2x)<√(a+2x-1)
x²+2x<a+2x-1
a>x²+1
Получили график стандартной параболы, сдвинутой вверх по у на единицу. Строим его.
Так как а больше, то делаем штриховку области выше параболы.
Вспоминаем ОДЗ, а точнее условия:
x∈(-∞;-2)U(0:+∞)
a>1-2x
Так как есть ограничение на x, удаляем из графика ту часть, где x не существует.
А поскольку есть еще ограничение в виде неравенства, то строим график прямой и делаем штриховку области выше этой прямой.
Теперь остается найти a в точке x=√3 - это и будет то самое a, при котором неравенство будет иметь лишь решения x∈[0;√3):
a=x²+1=(√3)²+1=4
Проверим:
√(x²+2x)<√(2x+3)
ОДЗ:
{x²+2x>0
{2x+3>0
Получаем x∈[0;+∞)
√(x²+2x)<√(2x+3)
x²+2x<2x+3
x²<3
|x|<√3 => x∈(-√3;√3)
Учитывая ОДЗ, получаем конечный ответ: x∈[0;√3). Верно!
Значит a=4 - то самое значение.
Ответ: a=4.
