Question

Решить уравнение в целых неотрицательных числах.
$x^3-xy^2+x-y=102$

Answer 1

$x^{3}-xy^{2}+x-y=102$
Теперь сгруппируем, вынеся общий множитель:
$x^{3}-xy^{2}+x-y=x( x^{2} -y^{2})+(x-y)=x(x-y)(x+y)+(x-y) \\ (x-y)(x(x+y)+1)$
Вернемся к уравнению:$(x-y)(x(x+y)+1)=102$
По условию, ищем решение в целых неотрицательных числах. Поскольку произведение двух скобок положительно - результат 102 - то обе скобки либо положительны, либо отрицательны. Но $x(x+y)+1$ всегда неотрицательно при любых неотрицательных значениях x и y; Поэтому $x-y\ \textgreater \ 0,x\ \textgreater \ y$
Итак, $x(x+y)+1$ и $x-y$ - делители числа 102.
x-y не может быть единицей, т.к в таком случае $x(x+1)=101$, но 101 - число простое.
Пусть (1)$x-y=2,x=2+y;$. Тогда $x(x+y)=50$. Мы выразили x через y. С учетом этого перепишем: $2(2+y)(1+y)=50$, откуда $y^{2} +3y-23=0$. Однако корень из дискриминанта - иррациональное число. Поэтому x-y≠2; (2) Пусть теперь $x-y=3,x=3+y;$ Действуя аналогично, придем к уравнению $2y^{2}+9y+9=33$, которое опять не имеет целых корней. (3) $x-y=6,x=6+y;$. Приходим к уравнению $(6+y)(6+2y)=16$ и снова нет целых корней. Продолжая так далее, приходим к тому, что единственное целое решение при y=-102 или y=-51, x=0 или x = 51. Решений, удовлетворяющих условию, нет.