Question

Помогите, пожалуйста, решить неравенство. Подробно.

Answer 1

Возведение в степень на поле действительных чисел, когда и основание и степень и результат возведения действительны, не определено для отрицательного основания вообще. Другими словами, возводить отрицательные числа в не целые вещественные числа НЕЛЬЗЯ. Например, -3 в степень 1/3 нельзя возвести, вот извлечь корень кубический из -3 можно.

по этому, нужно требовать, что бы $x^2-4 \geq 0$ (дальше в решении будет возникать, будет возводиться в вещественную степень $lg(2)$), и что бы $x+2 \geq 0$

Также, нужно требовать, что бы $x^2-4 \neq 0$, по скольку изначально 
$x^2-4$ находиться под логарифмом.

Возведении отрицательных чисел в иррациональную степень происходит уже на поле комплекстных чисел, и будет получаться счётное число комплекстных значений такого возведения.

Возведение отрицательных чисел в дробную степень, будет происходить также на поле комплекстных чисел, и будет получаться конечное число комплекстных значений такого возведения.

$lg(x^2-4)=log_{10}(x^2-4)=\frac{log_2(x^2-4)}{log_2(10)}=\frac{1}{log_2(10)}*log_2(x^2-4)=\\\\ =log_{10}(2)*log_2(x^2-4)=lg(2)*log_2(x^2-4)=\\\\=log_2[(x^2-4)^{lg(2)}],\ \ if\ \ x^2-4> 0$
------------------
$2^{lg(x^2-4)}=2^{log_2[(x^2-4)^{lg(2)}]}=(x^2-4)^{lg(2)},\ \ if\ \ x^2-4 > 0$
------------------
$2^{lg(x^2-4)}=2^{\frac{log_2(x^4-10)}{log_2(10)}}=2^{log_2(x^2-4)^{\frac{1}{log_2(10)}}}=\\\\ =(x^2-4)^{\frac{1}{log_2(10)}}=(x^2-4)^{lg(2)},\ \ if\ \ x^2-4 \ \textgreater \ 0$
------------------
$2^{lg(x^2-4)} \geq (x+2)^{lg(2)}\\\\ \left \{ {{(x^2-4)^{lg(2)} \geq (x+2)^{lg(2)}} \atop {x^2-4\ \textgreater \ 0}} \right. \\\\ \left \{ {{x^2-4} \geq x+2}} \atop {(x-2)(x+2)\ \textgreater \ 0\ \ and\ \ x+2 \geq 0}} \right. \\\\ \left \{ {{x^2-x-6} \geq 0}} \atop {x-2\ \textgreater \ 0}} \right. \\\\ \left \{ {{(x+2)(x-3)} \geq 0}} \atop {x\ \textgreater \ 2}} \right. \\\\ \left \{ {{x-3} \geq 0}} \atop {x\ \textgreater \ 2}} \right. \\\\ \left \{ {{x} \geq 3}} \atop {x\ \textgreater \ 2}} \right. \\\\ x \geq 3\\\\ x\in[3;\ +\infty)$

Answer 2

Я бы  решала так:
Прологарифмируем обе части неравенства:
lg2*lg(x² -4) ≥ lg2*lg(x+2)
lg2- положительное число. разделим обе части неравенства него
lg(x² - 4) ≥lg(x +2)
С учётом ОДЗ составим систему неравенств:
x² -4 ≥ x +2        x² -x -6 ≥ 0          корни 3 и -2
x² -4 > 0             x² -4 > 0              корни +-2
x+2 > 0  , ⇒       x +2 > 0, ⇒         x +2 > 0
-∞            -2             2               3              +∞
         +             -               -                 +           это знаки  x² -x -6
         +             -               +                +           это знаки х² - 4
         -              +              +                +           это знаки х +2
Ответ: х∈[3; +∞)