Question

Кривая задана уравнением Р=Р(ф) (фи) в полярной системе координат.

Answer 1

$rho=frac{1}{2-cosphi}$
1. Найдем область определения
$rho geq 0 Rightarrow 2-cosphi textgreater 0 Rightarrow cosphi textless 2$
Следовательно, φ может принимать любые значения. Построение кривой в полярной системе координат дает эллипс (см. прикрепленный файл)
2. Найдем каноническое уравнение кривой в ПСК
$rho=frac{1}{2-cosphi} Rightarrow rho(2-cosphi)=1 Rightarrow 2rho-rhocosphi=1$
Зная, что
$left { {{x=rhocosphi} atop {y=rhosinphi}} right.$
и
$rho= sqrt{x^{2}+y^{2}}$
получим
$2sqrt{x^{2}+y^{2}}-x=1\ (2sqrt{x^{2}+y^{2}})^2=(x+1)^2\ 4(x^{2}+y^{2})=x^{2}+2x+1\ 3x^{2}-2x+4y^{2}=1\ 3(x^2-frac{2}{3}x+frac{1}{9})-frac{1}{3}+4y^2=1\ 3(x-frac{1}{3})^{2}+4y^2=frac{4}{3}\ frac{(x-frac{1}{3})^{2}}{frac{4}{9}}+frac{y^2}{frac{1}{3}}=1\ frac{(x-frac{1}{3})^{2}}{(frac{2}{3})^{2}}+frac{y^2}{(frac{1}{sqrt3})^{2}}=1$
Последняя запись - уравнение эллипса в прямоугольных координатах в каноническом виде с центром в точке $O(frac{1}{3};0)$, большой полуосью $a=frac{2}{3}$ и малой полуосью $b=frac{1}{sqrt 3}$. По этим данным самостоятельно построить эллипс в ПСК сложности не составит.
Остальные задания делаются по аналогии.