Question

найти производные неявной функции и функции, заданной параметрически

Answer 1

Производная y'(x)=dy/dt*dt/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=y'(t)/x'(t). Но x'(t)=1/ctg(t)*(-1/sin²(t))=-1/[sin(t)*cos(t)], а y'(t)=-2*cos(t)*(-sin(t)/cos⁴(t)=2*sin(t)*cos(t)/cos⁴(t). Тогда y'(x)=-2*sin²(t)*cos²(t)/cos⁴(t)=-2*sin²(t)/cos²(t)=-2*tg²(t). Ответ: y'(x)=-2*tg²(t).

P.S. Заметим, что в данном случае можно получить ответ и в виде y'=f(x). Из первого уравнения находим x=ln ctg(t)=ln [1/tg(t)]=-ln[tg(t)], eˣ=1/tg(t), tg(t)=1/eˣ, tg²(t)=1/e²ˣ и y'(x)=-2*tg²(t)=-2/e²ˣ.