Question

Биссектриса угла BAD параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке М так, что ВМ : МС = 5:4. Найдите стороны параллелограмма, если периметр треугольника ВОС на  8 см больше чем периметр треугольника СОD,  где О - точка пересечения диагоналей параллелограмма.

Answer 1

1). Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда BM = 5x, MC = 4x и вся сторона BC = 9x.

2). BO = OD (части диагонали параллелограмма).

$P_{BOC}=BO+OC+BC$

$P_{COD}=CO-OD-CD$

$P_{BOC}-P_{COD}=BO+OC+BC-CO-OD-CD=BC-CD$

И так как по условию $P_{BOC}-P_{COD}=8$ ,

то и   $BC-CD=8$  или CD = BC - 8.

Но BC = 9x , тогда CD = 9x - 8.

3). $angle MAD = angle BMA$ (как накрест лежащие)

$angle BAM =angle MAD$ (так как AM - биссектриса)

Значит, $angle BAM =angle BMA$  и треугольник ABM - равнобедренный.

4). Из предыдущего пункта следует, что AB = BM = 5x , тогда и CD = AB = 5x . 
С другой стороны CD = 9x - 8 , значит, 5x = 9x - 8
4x = 8 
x = 2

5). AB = CD = 9x - 8 = 9*2 - 8 = 10
BC = AD = 9x = 9*2 = 18

Ответ: 10 см; 18 см; 10 см; 18 см.