Question

Докажите методом математической индукции, что для любого натурального n выполняется равенство:

$(1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3})=(1+2+3+...+n)^{2}$

Answer 1

Доказалетьство:

Индукция по n:

База n=1: $1^3=1^2$

Переход: предположим что для n=k равенство верно:

 $(1^3+2^3+...+k^3)=(1+2+...k)^2$

Тогда шаг индукции будет соответствовать проверке этого тождества  при n = k + 1, то есть нужно доказать, что

$(1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3)=(1+2+...+k+(k+1))^2$

Воспользуемся этими формулами:

 $1+2+...+k+k+1=frac{(k+1)^2+(k+1)}{2}$

$1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=frac{(k+1)^2(k+1)+1)^2}{4}$

 Получаем:

 $(1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3)=(1+2+...+k+(k+1))^2$

$frac{(k+1)^2(k+1)+1)^2}{4}=(frac{(k+1)^2+(k+1)}{2})^2$

 

 $(k+1)^2((k+1)+1)^2}=((k+1)^2+(k+1))^2$

 $(k+1)^2((k+1)+1)^2}=(k+1)^2((k+1)+1)^2$

 $((k+1)+1)^2=((k+1)+1)^2$

Получаем что утверждение верно при n=k+1 Значит утверждение верно и при n=k