Question

Биссектрисы внутреннего и внешнего угла при вершине с тупоугольного треугольника авс пересекают ав в точках L и М соответственно. Найти радиус описанной окружности, если CL=CM, BC=5, AC=12

Answer 1

$w(O;R)$ описана около Δ $ABC$
Δ $ABC-$ тупоугольный
$textless B-$ тупой
$CL$ и $CM$ биссектрисы внутреннего и внешнего углов Δ $ABC$
$CL$ ∩ $AB=L$
$CM$ ∩ $AB=M$
$CL=CM$
$BC=5$
$AC=12$
$R-$ ?

1)
$CL$ ∩ $AB=L$
$CM$ ∩ $AB=M$
$textless ACL= textless LCB$ ( по условию)
$textless BCM= textless QCM$ ( по условию)
$textless ACQ=180к$
$textless ACQ= textless ACB+ textless BCQ$
$textless ACQ=2 textless LCB+2 textless BCM$
$2( textless LCB+ textless BCM)=180к$
$textless LCB+ textless BCM=90к$
$textless LCM= textless LCB+ textless BCM=90к$ ⇒ Δ $LCM-$ прямоугольный
$LC=CM$ (по условию) ⇒ Δ $LCM-$  и  равнобедренный
$textless CLM= textless CML=45к$
2)
$textless CAM= beta$
$textless ABC= alpha$
$textless MBC=j$
Δ $AMC:$
$frac{AC}{sin textless AMC} = frac{CM}{sin textless MAC}$
$frac{AC}{sin45к} = frac{CM}{sin beta }$
$frac{12}{ frac{ sqrt{2} }{2} } = frac{CM}{sin beta }$
$12 sqrt{2} = frac{CM}{sin beta }$
$CM=12 sqrt{2} *sin beta$
Δ $MBC:$
$frac{BC}{sin textless BMC} = frac{CM}{sin textless CBM}$
$frac{BC}{sin45к} = frac{CM}{sinj}$
$j=180к- alpha$
$sinj=sin(180к- alpha )=sin alpha$
$frac{BC}{sin45к} = frac{CM}{sin alpha }$
$frac{5}{ frac{ sqrt{2} }{2} } = frac{CM}{sin alpha }$
$5 sqrt{2} = frac{CM}{sin alpha }$
$CM=5 sqrt{2} *{sin alpha }$

$12 sqrt{2} *sin beta =5 sqrt{2} *{sin alpha }$
$12*sin beta =5 *{sin alpha }$
$sin alpha = frac{12}{5} sin beta$
3)
$textless ACL= textless 1$
$textless LCB= textless 2$
Δ $LBC:$
$textless 1+ alpha =135к$ ⇒ $textless 1=135к- alpha$
Δ $ACL:$
$textless 2+ beta =45к$ ⇒ $textless 2=45- beta$
$textless 1= textless 2$
$135к- alpha =45к- beta$
$alpha =135к-45к+ beta$
$alpha =90к+ beta$
$sin alpha =sin(90+ beta )=cos beta$
$sin alpha = frac{12}{5} sin beta$
$cos beta = frac{12}{5} sin beta$
$frac{cos beta}{sin beta} = frac{12}{5}$
$ctg beta = frac{12}{5}$  ⇒ $beta =arcctg frac{12}{5}$
4)
Δ $ABC:$
$frac{BC}{sin textless beta } =2R$
$frac{5}{sin(arcctg frac{12}{5} )} =2R$

$sin(arcctg x)= frac{1}{ sqrt{1+x^2} }$
$sin(arcctg frac{12}{5} )= frac{1}{ sqrt{1+( frac{12}{5} )^2} }= frac{5}{13}$

$frac{5}{ frac{5}{13} } =2R$
$2R=13$
$R=6.5$ 

Ответ: 6.5

рисунок в приложении