Question

Уравнения, где нужно сделать замену. Сложновато, но стоит того.
$1) sqrt{x sqrt[5]{x} } - 26 sqrt[5]{x sqrt{x} } = 27$
$2) 3 x^{2} + 15x + 2 sqrt{ x^{2} + 5x + 1} = 2$

Answer 1

1) Вместо корней запишем заданное уравнение в степенях.
x^(6/10)-26x^(3/10) = 27.
Введём замену: x^(3/10) = n.
Получаем квадратное уравнение:
n²-26n-27 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно n: Ищем дискриминант:
D=(-26)^2-4*1*(-27)=676-4*(-27)=676-(-4*27)=676-(-108)=676+108=784;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
n_1=(√784-(-26))/(2*1)=(28-(-26))/2=(28+26)/2=54/2=27;n_2=(-√784-(-26))/(2*1)=(-28-(-26))/2=(-28+26)/2=-2/2=-1. Этот корнь отбрасываем - корень чётной степени не может быть отрицательным.
Обратная замена: x^(3/10) = 27 = 3³.
Отсюда х = 3^(10) = 59049.

2) Вынесем общий множитель:
3х(х+5)+2√(х(х+5)+1) = 2.
Получаем 2 корня: х = 0 и х = -5.
При этих значениях переменной остаётся тождество 2 = 2.

Answer 2

С первым заданием всё понятно, хотя я смог решить более простым способом. Но во втором непонятно, откуда берутся эти корни. Подбором?

Answer 3

Замените x^2 + 5x = t. Получите: 2 корня из (t + 1) = 2 - 3t. А дальше - как обычное квадратное: t1 = 0 и t2 = 16/9. Возвращайтесь к замене.

Answer 4

x^2 + 5x = 0, откуда x = 0, x = -5. Второй вариант лишний.