Question

Помогите решить неравенство
$5^{frac{1}{x}}cdot x+5^xcdotfrac{1}{x} leq 10$

Answer 1

Найдем корни уравнения: $5^{ frac{1}{x} }cdot x+5^x cdot frac{1}{x} -10=0$

Пусть $5^x=a;,,,, 5^{ frac{1}{x} }=b$ причем $big(a ,b textgreater 0big)$, тогда получим:
$bx+a cdotfrac{1}{x} =10|cdot x\ \ bx^2-10x+a=0$
Вычислим дискриминант квадратного уравнения:
$D=b^2-4ac=10^2-4ab=100-4ab$

имеем 2 случая:

случай 1) Если $-4ab+100=0$, отсюда $-ab+25=0$
$5^x= dfrac{25}{5^{ frac{1}{x}} } \ \ 5^x=5^big{ 2-frac{1}{x} }$
$x=2- dfrac{1}{x} |cdot x\ x^2-2x+1=0\ (x-1)^2=0\ x=1$

Cлучай 2) Если $-ab+25 textgreater 0;,,, -5^{x+ frac{1}{x} } textgreater -25;,,,,, 2 textgreater x+ frac{1}{x}$ отсюда:
 $frac{(x-1)^2}{x} textless 0$
ОДЗ этого неравенства $x ne 0$

___-____(0)____+___(1)___+____
$x textless 0$

То квадратное уравнение имеет 2 действительных корней:
$x= dfrac{10pm sqrt{100-4cdot 5^{x+ frac{1}{x} }} }{2cdot5^{ frac{1}{x} }} \ \ 2cdot5^{ frac{1}{x} }cdot x-10mp 2sqrt{25-5^{x+ frac{1}{x} }} =0$

Так как $x textless 0$, то левая часть уравнения будет принимать отрицательные значения, то есть решений не имеет.


Значит, решением уравнения $5^{ frac{1}{x} }cdot x+5^xcdot frac{1}{x} -10=0$ является корень $x=1.$


Найдем решение заданного неравенства:

__-____(0)__+__[1]__+____


Ответ: $x in (-infty;0)cup{1}$

Answer 2

Но,вообще,молодец )

Answer 3

Сделано)