Question

Укажите номера верных утверждений:

1) Если точка пересечения диагоналей трапеции равноудалена от оснований, то эта трапеция является параллелограммом.

2) Внешний угол правильного восьмиугольника равен 45.

3) Периметр параллелограмма меньше суммы длин его диагоналей.

4) Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.

5) Центр вписанной окружности правильного пятиугольника является центром симметрии этого пятиугольника.

* пожалуйста, желательно с объяснением, просто училка очень строгая, будет спрашивать)))

Answer 1

 2. Сумма углов восьмиугольника вычисляется по формуле: $S_{alpha}=180*(n-2)$

$S_{alpha}=180*(8-2)=180*6=1080$. Разделив это число на 8, найдем чему равен один угол. $frac{1080}{8}=135$. По определению, внешний угол это угол, смежный с любым внутренним. А так как сумма смежных углов равна 180 градусам, получаем: $180-135=45$, что и сходится с утверждением.

 

3. Разобьем параллелограмм на четыре треугольника путем проведения в нем диагоналей. Для произвольного треугольника на плоскости всегда выполняется неравенство треугольника: сумма длин двух сторон больше или равна длине третьей. Дальше все понятно, во вложении.

5. У правильного многоугольника с нечентым числом сторон осями симметрии являются прямые, выходящие из вершин углов, которые перпендикулярны противолежащей углам сторонам. Для правильного многоугольника точка пересечения этих прямых будет являться центром описанной окружности. А по свойству тех же правильных многоугольников, это точка будет еще и центром вписанной окружности. Следовательно, центр вписанной окружности является центром симметрии пятиугольника.