Question

помогите пожалуйста)))доказать неравенство

Answer 1

1) перенесём всё в левую часть
2) вынесем a³ и b³
3) (b-a)=-(a-b)
4) выносим (a-b)
5) применим формулу разности кубов( a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) )

$a^4+b^4 geq a^3b+b^3a\a^4-a^3b+b^4-b^3ageq 0\a^3(a-b)+b^3(b-a)geq0\(a-b)(a^3-b^3)geq0\(a-b)(a-b)(a^2+ab+b^2)geq0\(a-b)^2(a^2+ab+b^2)geq0$


Рассмотрим 2 множителя.
(a-b)² - число неотрицательное(≥0), т.к. возводим в чётную степень
a²+ab+b² - также неотрицательное, т.к. сумма неотрицательных чисел(a² и b², т.к. чётная степень; ab - т.к. произведение неотрицательных(по условию) чисел неотрицательно).
И тут получаем произведение неотрицательных чисел, которое ≥0. Неравенство доказано.