Question

Рабочий обслуживает 3 станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02, для второго – 0,03, для третьего – 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего в два раза меньше, чем второго. Вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бракованной равна:

Answer 1

Введём следующие обозначения:
$D_i$ - событие "вытащена деталь под номером i".
$A$ - событие "вытащенная деталь бракована".
$p_i$ - соответствующие вероятности брака.
$v_i$ - производительности станков.
Будем рассматривать ситуацию, когда произведено достаточно много деталей.
По условию известно следующее:
$p_i = frac{i+1}{100} \ v_1 = 3v_2 \ v_2 = 2v_3$
Сразу заметим, что $sum_{i=1}^3v_i = 6v_3 + 2v_3 + v_3 = 9v_3$
Пусть прошла единица времени. Тогда всего в ящике находится $sum_{i=1}^3v_i = v_1+v_2+v_3$ деталей, а вероятности событий $D_i$ вычисляются как отношения количества подходящих деталей ко всем деталям в ящике, то есть
$mathbb{P}(D_i) = frac{v_i}{sumlimits_{i=1}^3v_i} (1)$
По формуле полной вероятности имеем:
$mathbb{P}(A) = sumlimits_{i=1}^3mathbb{P}(A|D_i)mathbb{P}(D_i) = \ sum p_icdotmathbb{P}(D_i) =^{(1)}sum p_icdotfrac{v_i}{sum v_i} = \ p_1 cdot frac{6v_3}{9v_3} + p_2 cdot frac{2v_3}{9v_3} + p_3 cdot frac{v_3}{9v_3} = \ 0.02 cdot frac23 + 0.03 cdot frac29 + 0.04 cdot frac19 = frac{11}{450}.$