Question

Диагонали АС и BD выпуклоro четырехугольника АBCD, площадь которого равна 28, пересекаются точке О. Площадь треугольника AOB в 2 раза больше, чем площадь треугольника COD, а площадь треугольника ВОС в 18 раз больше, чем площадь треугольника AOD. Найти площади треугольников AOB, BOC, COD и AOD.

Answer 1

Пусть S(AOD)=x, S(COD)=y. Тогда S(BOC)=18x, S(AOB)=2y.
Тогда х+у+18х+2у=28, т.е. 19х+3у=28. С другой стороны, т.к. треугольники AOD и COD имеют общую высоту из вершины D, то их площади относятся так же как их основания AO и OC соответственно. Т.е. x/y=AO/OC. Аналогично для треугольников AOB и BOC получаем
AO/OC=S(AOB)/S(BOC)=2y/18x. Итак AO/OC=x/y=2y/18x, откуда 9х²=y², т.е. y=3x. Значит 19x+9x=28. Т.е. S(AOD)=х=1, S(COD)=у=3, S(BOC)=18х=18, S(AOB)=2y=6.