Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
$y=frac{16}{x^2}, ; y=2x, ; x=4.$
До этого решал только такие примеры, в которых есть два "x", и вторая "y" всегда рана 0. А решение такого примера с неизвестным значением второй "y" и с одним "x" встречаю впервые, поэтому не знаю как правильно решать, в моём учебнике нет объяснения. По одному примеру разобрался, чтобы решить надо сделать:
1. Найти точки пересечения функций y=16/x^2 и y=2x, эта точка будет второй "x";
2. Найти первообразные этих функций, вычислить площади по отдельности;
3. Отнять от площади второго площадь первого, т.е. S(2x) - S(16/x^2).
Получаю правильный ответ. Вот решение:
$y=frac{16}{x^2}, ; y=2x, ; x=4\\ left { {y={frac{16}{x^2}} atop {y=2x}} right. =left { {2x={frac{16}{x^2}} atop {y=2x}} right.=left { {x^3={8} atop {y=2x}} right.=left { {x={2} atop {y=4}} right.\\1)y=frac{16}{x^2}\ f (x)=-frac{16}{x};\S=-frac{16}{4}-(-frac{16}{2})=4;\\2)y=2x\f(x)=x^2;\S=4^2-2^2=12;\\12-4=8.$

Теперь вопросы.
1. Решая систему уравнений нашли "x", но также нашли "y" в системе. Что эта "y" даёт? Нужна ли она?
2. Почему мы именно от площади второго "y" отнимаем площадь первого "y"? Если переиначить этот вопрос: как понимать, какая "y" первая и какая вторая, т.е. как понимать от площади какой y отнимать площадь другого "y"?
3. В задании даётся один "x", самостоятельно находим второе. Но если находятся несколько корней функции при решении системы, то какую брать большую или меньшую? Показываю в следующем примере:

$y=-frac{3}{x^3}, ; y=-3x, ; x=-4\\ left { {{y=-frac{3}{x^3}} atop {y=-3x}} right. =left { {{-3x=-frac{3}{x^3}} atop {y=-3x}} right.=left { {{x^4=1} atop {y=-3x}} right.=left { {{x=pm1} atop {y=pm3}} right.\\y=-frac{3}{x^3}\f(x)=frac{3}{2x^2};\S=frac{3}{2(-1)^2}-frac{3}{2(-4)^2}=frac{45}{32};\\y=-3x\f(x)=-frac{3x^2}{2};\S=-frac{3(-4)^2}{2} +frac{3(-1)^2}{2}=frac{45}{2};\\frac{45}{2}-frac{45}{32}=frac{675}{32}=21frac{3}{32}.$

Да, в данном примере не было разницы возьми я "+1" или "-1", т.к. во второй и четвертой степени любое неотрицательное меняется на положительное. Ну а если бы были разные корни у "x"? К примеру решая систему допустим получаю x1= 3, x2=5. Какую брать?

Answer 1

ответ на последний вопрос: брать интеграл от (3) до (5)... или в условии задачи будет указано еще какое-то значение х, которое и подскажет---какое икс выбрать из двух найденных...)))
ключевое слово: криволинейная трапеция ограничена ОСЬЮ ОХ и графиком функции)))
пределы интегрирования от "левого" х до "правого" х
а в данном примере было все равно брать х=-1 или х=1 т.к., фигуры, ограниченные осью ОХ и графиком, просто симметричны, только одна ПОД осью ОХ, вторая НАД осью ОХ...

Answer 2

если вопросы остались---можно задавать)))

Answer 3

Страшную тему, тем более это задание, которое был уверен "не пойму" и только бы научиться решать, Вы мне так красиво и объяснили, что всё просто и ясно! На все мои вопросы ответили! В блокнотик записал как вопрос - ответ)

Answer 4

Благодарю!!!

Answer 5

рада была помочь))