Question

Докажите, что на клетчатой бумаге треугольник с вершинами в узлах сетки не может иметь площадь, которая в единицах измерения площади, равных площади одной клетки, записывается в виде несократимой дроби со знаменателем 4.

Answer 1

На  клетчатой бумаге можно ввести декартовы координаты. Вершины треугольника  - целые числа.
Площадь равна  модулю от величины  ((х1-х3)*(у2-у3) -(х2-х3)(у1-у3))/2
Т.к. в скобках целое число, то, доказываемый факт очевиден.
Формула известная и выводится, например
, вписыванием треугольника в прямоугольник со сторонами параллельными осям абсцисс и ординат. Из этого прямоугольника вычитают лишние площади. В нашем случае это прямоугольник с целочисленными координатами из которого вычитаются треугольники прямоугольные, чьи площади равны половине произведения целых чисел.

Answer 2

Вот рассуждение после формулы - это и есть "проще". Если бы я прикрепил рисунок, то оно было бы совершенно понятно шестикласнику. Нарисуйте сами прямоугольник, в который целиком помещается ваш треугольник, а две вершины совпадают с вершинами треугольника. ( Вообще-то, я здесь допустил неточность,говоря, что треугольник вписан, но так как привел формулу, не стал на этом месте давать подробное разъяснение).Площадь его - целое число.

Answer 3

Теперь вся площадь прямоугольника разбивается на 4 треугольника- один из них наш, а остальные прямоугольные с вершинами на сетке и один прямоугольник. После этого, доказываемый факт очевиден ( в буквальном смысле слова)). Проще, думаю, нельзя.

Answer 4

спасибо

Answer 5

Очень прошу пояснить, как можно получить три треугольника с прямыми углами, если две вершины треугольника совпадают с вершинами прямоугольника?

Answer 6

Возможны 2 случая: либо Вы можете вписать треугольник в прямоугольник со сторонами идущими по клеточкам( тогда теорема доказана), либо получаете прямоугольник о котором говорили раньше, т.е. у которого большая сторона -диагональ прямоугольника, а одна точка внутри. Из нее опускаете перпендикуляры на стороны, получая еще 2 внутренних тр-ка и один прямоугольник.