Question

найди общие точки уравнения окружности (х-3)вквадрате + (у-5)вквадрате=4   и прямой х+у=10

Answer 1

Имеем окружность с центром О(3,4) и радиусом 2.

Для начала убедимся, что прямая и окружность имеют общие точки. Для этого расчитаем расстояние от центра окружности до прямой:

$d=left | frac{Ax_1+Bx_2+C}{sqrt{A^2+B^2}} right |=left | frac{1cdot3+1cdot5-10}{sqrt{1^2+1^2}} right |=left |frac{-2}{sqrt2} right |=frac{2}{sqrt2}=sqrt2<2$

Расстояние от центра до прямой меньше радиуса, значит, окружность и прямая имеют две общие точки. Найдём их координаты. Для это запишем уравнение прямой в виде y=kx+b:

$x+y=10Rightarrow y=-x+10$

Подставим значение y в уравнение окружности и найдём абсциссы точек пересечения, решив получившееся квадратное уравнение:

$(x-3)^2+(-x+10-5)^2=4\x^2-6x+9+(5-x)^2-4=0\x^2-6x+5+25-10x+x^2=0\2x^2-16x+30=0quaddiv2\x^2-8x+15=0\D=64-4cdot1cdot15=64-60=4=2^2\x_1=frac{8+2}2=5\x_2=frac{8-2}{2}=3$

Тогда ординаты точек пересечения:

$y=-x+10\y_1=-5+10=5\y_2=-3+10=7$

Таким образом, заданные окружность и прямая пересекаются в точках A(5,5) и B(3,7)