Question

Высоты треугольника равны m,n и p.Найдите радиус вписанной окружности.

Answer 1

 пусть стороны треугольника равны $a;b;c$  опущенные к ним высота соответственно равны $m;p;n$.
 Так как  площадь треугольника можно вычислить  
$cn=2pr\ am=2pr\ bp=2pr$ 
 откуда 
$c=frac{2pr}{n}\ a=frac{2pr}{m}\ b=frac{2pr}{p}$
 то полупериметр  
 $p=frac{a+b+c}{2}=frac{2pr(frac{1}{n}+frac{1}{m}+frac{1}{p})}{2}\ r(frac{1}{n}+frac{1}{m}+frac{1}{p})=1\ frac{1}{n}+frac{1}{m}+frac{1}{p}=frac{1}{r}$
  откуда радиус 
 $r=frac{1}{frac{1}{n}+frac{1}{m}+frac{1}{p}}=frac{mnp}{mn+mp+np}$