Question

По тонкому кольцу радиусом 10 см равномерно распределен заряд 20 нКл. Какова напряженность поля в точке, находящейся на оси кольца на расстоянии 20 см от центра кольца?

Answer 1

Нарисуйте кольцо и на его оси точку на расстоянии а от центра кольца (постарайтесь нарисовать в трехмерном виде) . Теперь отмечаем на кольце кусочек дуги длиной dL. Заряд этого кусочка равен dq = qdL/(2piR).
Нарисуйте вектор напряженности, создаваемый этим зарядом. Вычислим теперь величину этого элементарного вектора напряженности dE, создаваемого элементарным зарядом dq:
dE = k(dq/s^2)
тут k - постоянная (из закона Кулона)
s - расстояние от кусочка дуги до исследуемой точки. Величину этого расстояния Вы легко можете определить, зная R и а. (воспользуйтесь теоремой Пифагора) .
Теперь давайте введем оси координат. Одну Ох направим вдоль оси кольца от кольца к точке а. Вторую Оу направим по диаметру кольца от центра через отмеченный нами кусочек дуги. Давайте теперь вектор dE представим как проекции dEx и dEy на оси Ох и Оу. Обратите внимание, что если Вы построите вектор напряженности от кусочка дуги кольца, находящегося на противоположном конце диаметра кольца от первого кусочка и сложите векторы от первого и второго кусочков, то составляющие dEx двух векторов сложатся, а dEy взаимно сократятся. И так произойдет с любыми векторами напряженности от любых двух противоположных кусочков дуги кольца. Т. о. выясняем, что вектор напряженности будет направлен вдоль оси кольца!
Теперь нам надо просуммировать все dEx от всех кусочков дуги кольца и получим величину напряженности. Для этого, надо сначала вычислить dEx. Вектор dE Вы уже нашли, он пересекает ось кольца под углом alfa и проекция его на ось Ох равна dE*cos(alfa).
Длину катетов a и R, вы знаете, длину гипотенузы (расстояния от заряда до точки а) тоже знаете - находите косинус.
Ну и окончательно, суммируете все dEx, а если точнее, то интегрируете, т. е. вычисляете интеграл от:
dE*cos(alfa) = интеграл от k(1/(2piRs^2))*cos(alfa)dL от 0 до длины величины длины окружности 2piR.