Question

Решите пожалуйста производную!

Answer 1

Ответ:

4. $-\frac{2}{sin^2x} -\frac{2cos^2x}{sin^4x}$

5. $-\frac{6}{x^4}$

Пошаговое объяснение:

4.

$y=ln \;sinx$

Найдем первую производную. Здесь производная сложной функции:

${(ln\;u)'=\frac{u'}{u} };\;\;\;\;\;(sinx)'=cosx$

$y'=(ln\;sinx)'=\frac{cosx}{sinx}=ctgx$

Найдем вторую производную:

$y''=(y')'=(ctgx)'=-\frac{1}{sin^2x}=-sin^{-2}x$

Найдем третью производную. Здесь также сложная функция:

$(u^n)'=nu^{n-1}*u'$

$y'''=(y'')'=(-sin^{-2}x)'=-(-2sin^{-3}x)*(sinx)'=2sin^{-3}x*cosx=\frac{2cosx}{sin^3x}$

Найдем четвертую производную.

$(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2};\;\;\;\;\;(cosx)'=-sinx$

$y^{IV}=(y''')'=(\frac{2cosx}{ sin^3x } )'=\frac{-2sinx*sin^3x-2cosx*3sin^2x*(sinx)'}{sin^6x} =\frac{-2sin^4x-2cosx*3sin^2x*cosx}{sin^6x} =\frac{-2sin^4x-6sin^2xcos^2x}{sin^6x} =-\frac{2}{sin^2x} -\frac{6cos^2x}{sin^4x}$5)

$y=lnx$

Найдем первую производную:

$y'=\frac{1}{x}$

Найдем вторую производную.

$y''=(y')'=(\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}=-x^{-2}$

Найдем третью производную.

$(x^n)'=nx^{n-1}$

$y'''=(y'')'=(-x^{-2})'=-(-2x^{-3})=2x^{-3}$

Найдем четвертую производную.

$y^{IV}=(y''')'=(2x^{-3})'=2*(-3)x^{-4}=-6x^{-4}=-\frac{6}{x^4}$