Question

найди все пары простых чисел, сумма и разность которых - тоже простые числа. это 5 класс.

Answer 1

сумма двух простых чисел не меньше, чем 2 + 2 = 4. Все простые числа, большие двух нечетны, значит, сумма нечетна.

Сумма двух натуральных чисел нечетна, если эти числа разной четности. Поэтому в искомой паре одно из чисел нечёно, другое чётно. Есть только одно нечетное простое число - это число 2. Значит, одно из чисел равно двум.

Пусть второе простое число равно p. Тогда по условию p - 2, p и p + 2 - простые. Никакие два из этих чисел не могут давать одинаковые остатки при делении на 3 (иначе их разность бы делилась на 3, а все попарные разности равны двум или четырем). Значит, среди этих трех чисел есть одно, делящееся на 3. Единственное простое число, делящееся на 3 есть само число 3. Отсюда какое-то из чисел p - 2, p, p + 2 равно трем.

1) p - 2 = 3, p = 5
Проверка. Числа 3, 5, 7 - простые, подходит.
2) p = 3
Проверка. p - 2 = 1 - не простое число, не подходит.
3) p + 2 = 3, p = 1 - не простое число, не подходит.

Ответ. 2 и 5.