Question

Помогите, пожалуйста, исследовать данную функцию методами дифференциального исчисления и построить график.

у=(5-х^2)/(x^2+5)

 

Исследование функции рекомендуется проверить по следующей схеме: 1) Найти область определения функции; 2) Исследовать функцию на непрерывность; 3) Определить, является ли данная функция четной, нечетной; 4) Найти интервал возрастания и убывания функции и точки экстремума; 5) Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба; 6) Найти асимптоты графика функции.

Answer 1

$y=frac{5-x^2}{5+x^2}=frac{10}{x^2+5}-1$

1. Область определения $D(y)=(-infty;infty);$

Область значений E(y)=(-1;1]

2) Так как x^2+5>0 для любого действительного х (знаменатель не равен 0 для любого х), то согласно арифмитическим действиям над непрерывными функциями и непрерывности многочленов данная функция непрерывная

3) Так как область определения симметричная относительно т. х=0, и

$y(-x)=frac{10}{(-x)^2+5}-1=frac{10}{x^2+5}-1=y(x)$

то функция четная

Так как данная функция дробно-рациональная, то она непериодична

4) $y'(x)=-frac{10}{(x^2+5)^2}*(2x)-0=-frac{20x}{(x^2+5)^2}$

y'>0 при x<0

y'<0 при x>0

x=0 - точка локального максимума 

при х є $(-infty;0)$ функция возростает

при х є $(0;infty)$ функция убывает

5) $y''(x)=-20*(frac{1*(x^2+5)^2-x*2(x^2+5)2x}{(x^2+5)^4})=\ -20frac{(x^2+5)(x^2+5-4x^2)}{(x^2+5)^2}=20frac{(x^2+5)(3x^2-5)}{(x^2+5)^4}=20frac{3x^2-5}{(x^2+5)^3};$

$x=^+_-sqrt {frac{5}{3}}$- точки перегиба

$(-infty; -sqrt frac {5}{3}) cup (sqrt frac{5}{3}; infty)$

функция вогнута

на интервале $(-sqrt frac {5}{3};sqrt frac{5}{3})$

функция выпукла

6) так как x^2+5>0 , то вертикальных асимптот нет

$k=lim{x->infty} frac{y(x)}{x}=lim_{x->infty}frac{5-x^2}{5x+x^3}=0$

$b=lim_{x->infty}frac{10}{5+x^2}-1=-1$

значит есть только горизонтальная асимптота y=-1