Question

вычислить площадь треугольника , вершинами которого служат точки А (4,2), В (9,4), С (7,6)

Answer 1

по формуле расстояния между двумя точками, заданными координатами

$d=sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

 

$AB=sqrt{(4-9)^2+(2-4)^2}=sqrt{29};\ BC=sqrt{(9-7)^2+(4-6)^2}=2sqrt{2};\ AC=sqrt{(4-7)^2+(2-6)^2}=5$

Полупериметр равен $p=frac{AB+BC+AC}{2}=frac{ sqrt{29}+2sqrt{2}+5}{2}$

 

По формуле Герона площадь равна

$S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\ sqrt{frac{sqrt{29}+2sqrt{2}+5}{2}*(frac{sqrt{29}+2sqrt{2}+5}{2}-5) *(frac{sqrt{29}+2sqrt{2}+5}{2}-2sqrt{2})*(frac{sqrt{29}+2sqrt{2}+5}{2}-sqrt{29})}=\ sqrt{frac{sqrt{29}+2sqrt{2}+5}{2}*(frac{sqrt{29}+2sqrt{2}-5}{2}) *(frac{sqrt{29}-2sqrt{2}+5}{2})*(frac{-sqrt{29}+2sqrt{2}+5}{2})}=\ frac{1}{4}sqrt{ (sqrt{29}+2sqrt{2})+5)*((sqrt{29}+2sqrt{2})-5) *(5+(sqrt{29}-2sqrt{2}))*(5-(sqrt{29}-2sqrt{2}))}=$

$frac{1}{4}sqrt{ (sqrt{29}+2sqrt{2})^2-5^2)*(5^2-(sqrt{29}-2sqrt{2})^2)}=\ frac{1}{4}sqrt{ (29+8+4sqrt{58}-25)*(25-29-8+4sqrt{58})}=\ frac{1}{4}sqrt{ (12+4sqrt{58})*(-12+4sqrt{58})}=\ frac{4}{4}sqrt{ (sqrt{58}+3)*(sqrt{58}-3)}=\ sqrt{ (sqrt{58})^2-3^2)}=\ sqrt{58-9}=sqrt{49}=7$

 ответ: 7