Question

биссектрисы углов В и С параллелограма ABCD пересекаются в точке М стороны AD. докажите, что сторона M - середина AD

Answer 1

Обозначим угол ABM, как α, а угол MCD, как β. Тогда $ABC+BCD=2 alpha +2 beta =180$
Угол BAM=BCD=2β, а угол MDC=ABC=2α.
Рассмотрим треугольник ABM 
Сумма углов треугольника равна 180°=α+2β+BMA
2α+2β=α+2β+BMA. Отсюда BMA=α.
Т.к. углы ABM и BMA равны, можем утверждать, что треугольник является равнобедренным, => AB=AM.
Аналогично для треугольника MCD (CMD+β+2α=180=2α+2β; => CMD=β; => треугольник равнобедренный; => CD=MD)
Т.к. AB=CD, то AM=MD => M - середина AD