Question

Вычислите:cos(arcsin(-12/13)+arcsin4/5)

Answer 1

$cos(arcsin(- frac{12}{13} )+arcsin frac{4}{5} )=cos(arcsin frac{4}{5}-arcsin frac{12}{13} )$
Обозначим
$arcsin frac{4}{5}= alpha \ arcsinfrac{12}{13} = beta$
формула
$cos( alpha - beta )=cos alpha cdot cos beta +sin alpha cdot sin beta$
Так как
$arcsin frac{4}{5}= alpha Rightarrow sin alpha = frac{4}{5}, alpha in(0; frac{ pi }{2})$
$cos alpha = sqrt{1-sin ^{2} alpha }= sqrt{1-( frac{4}{5}) ^{2} }= sqrt{1- frac{16}{25} }= sqrt{ frac{9}{25} }= frac{3}{5}$
Так как
$arcsin frac{12}{13}= beta Rightarrow sin beta = frac{12}{13}, beta in(0; frac{ pi }{2})$
$cosbeta  = sqrt{1-sin ^{2}beta }= sqrt{1-( frac{12}{13}) ^{2} }= sqrt{1- frac{144}{169} }= sqrt{ frac{25}{169} }= frac{5}{13}$

$cos(arcsin(- frac{12}{13} )+arcsin frac{4}{5} )=cos(arcsin frac{4}{5}-arcsin frac{12}{13} )= \ =cos( alpha - beta )=cos alpha cdot cos beta +sin alpha cdot sin beta= frac{3}{5}cdot frac{5}{13}+ frac{4}{5} cdot frac{12}{13}= \ = frac{15}{65}+ frac{48}{65}= frac{15+48}{65}= frac{63}{65}$