Question

Уважаемые математики!Помогите с задачей:
Девять чисел таковы, что сумма любых четырех из них меньше суммы пяти остальных. Докажите, что все числа положительны.
Как ее вообще решать?
Мои идеи: воспользоваться элементом комбинаторики(число сочетаний из n элементов по m). Тогда получится 126 случаев(неравенств). Числа а,б,в,г,д,е,ж,з,и встретятся по 14 раз в обоих неравенствах. Но тут противоречие(если сложить неравенства, то получится i<i) Спасибо!
Задача очень интересная, думаю, вам тоже будет интересно ее решить)

Answer 1

держите:
(люблю, когда уже выкладывают свои соображения-уважаю)
раз уж Вы ввели абвгдежзи, их и придержимся, но для определенности это ряд не убывающий, то есть а-самое маленькоеили равное б,.. и тд, и - соответсвенно самое большое
то есть надо показать, что а>0
а+б+в+г+д>е+ж+з+и условие задачи
б+в+г+д≤е+ж+з+и -по обозначениям
а+б+в+г+д>е+ж+з+и≥б+в+г+д
а+б+в+г+д≥б+в+г+д
а≥0
вот такие вот мои соображения.. как избавится от нуля меньшего - додумайте сами, там не сложно..

Answer 2

a1+a2+a3+a4+a6+a7+a8+a9<2*a5+a6+a7+a8+a9+a4+a3+a2+a1 все взаимоуничтожается слева и справа: 2*a5>0 a5>0 Анологигично показываем положительность остальных.

Answer 3

И не нужно парится со строгими не стрпогими все гораздо проще

Answer 4

Согласен с вами тоже)Спасибо)Оказывается, так элементарно, а я на ней завалился(

Answer 5

Задача на смекалку и в основном на внимательность ;)

Answer 6

Прошу вас попробовать решить и эту задачу. http://znanija.com/task/9697893
она тоже нестандартная)спасибо)