Question

в выпуклом четырехугольнике ABCD проведены диагонали.Известно,что площади треугольников ABD,ACD,BCD равны.Докажите,что данный четырехугольник является параллелограммом?

Answer 1

Рассмотрим треугольники ABD  и ACD. Проведем высоты ВН и СК.
Sabd = AD·BH/2
Sacd = AD·CK/2
Так как площади этих треугольников равны, то равны и их высоты:
AD·BH/2 = AD·CK/2 ⇒ ВН = СК.
Но ВН ║ СК как перпендикуляры к одной прямой. Тогда НВСК - прямоугольник и, значит, НК ║ ВС, а
значит, AD ║ BC.

Рассмотрим треугольники ACD и BCD.
Проведем высоты АЕ и ВТ к стороне CD.
Sacd = CD·AE/2
Sbcd = CD·BT/2
Так как площади этих треугольников равны, то равны и их высоты:
CD·AE/2 = CD·BT/2 ⇒ AE = BT.
Но АЕ ║ ВТ как перпендикуляры к одной прямой. Тогда ЕАВТ - прямоугольник и, значит, ЕТ ║ АВ, а
значит, СD ║ АВ.

AD ║ BC, СD ║ АВ, значит ABCD - параллелограмм по определению.