Question

Существуют ли выпуклый шестиугольник и точка М внутри него такие, что все стороны шестиугольника больше 1, а расстояние от М до любой вершины меньше1. Буду благодарен.

Answer 1

Вот, пожалуйста. Надеюсь, все видно, все понятно.

Answer 2

Извиняйте, качественнее некуда. Попробую набрать текст.

Answer 3

Не существует. Допустим, что такой шестиугольник ABCDEF существует. Рассмотрим 6 треугольников, основания которых – соответствующие стороны шестиугольника, а вершина – точка М. Тогда хотя бы в одном из этих треугольников угол при вершине М≥ 60 (т.к. сумма всех шести углов равна 360). Пусть угол AMB ≥ 60. Тогда хотя бы один из углов при основании треугольника AMB (допустим, угол BAM ) меньше или равен 60. Но тогда для углов AMB и BAM получается противоречие с тем, что против большего угла в

Answer 4

треугольнике лежит большая сторона. Раз получили противоречие, то наше предположение неверно, и такого шестиугольника и лежащей внутри него точки М, что все стороны шестиугольника больше 1, а расстояние от М до любой вершины меньше 1, не существует

Answer 5

Спасибо большое!

Answer 6

красава братан за решение:)