Question

sinx+cosx+2sinxcosx=1

Answer 1

sinx+cosx =t ⇒t^2 = (sin^2x+cos^2x+2sinxcosx)=1+2sinxcosx ⇒
2sinxcosx = t^2-1
Уравнение принимает вид:
t+t^2-1=1
t^2 + t - 2 =0
D=1-4*1*(-2) = 9
t1=(-1-√9)2 = (-1-3)2=-42=-2
t2=(-1+√9)2 = (-1+32=22=1
sinx+cosx=-2 ⇒уравнение корней не имеет, т.к. |sinx|≤1 , |cosx|≤1
sinx+cosx=1
2sinx2cosx2+cos^2x2-sin^2x2=sin^2x2 +cos^2x2
2sinx2cosx2- 2sin^2x2=0
2sinx2(cosx2-sinx2)=0
sinx2=0 ,  cosx2 - sinx2 = 0
x2=πk, k∈Z  ,    1-(sinx2)cosx2=0⇒1-tgx2 =0⇒tgx2 = 1⇒x2 =π4+πk, k∈Z
x=2πk, k∈Z   ,     x=π2 + 2πk, k∈Z
Ответ: x=2πk, k∈Z   ,     x=π2 + 2πk, k∈Z