Question

Дан пространственный четырехугольник ABCD, в котором диагонали AC и BD равны. Середины сторон этого четырехугольника соединены последовательно отрезками. а)Выполните рисунок к задаче. б) Докажите, что полученный четырехугольник – ромб.

Answer 1

середины сторон AB, BC, CD, DA - точки К, L, M, N, лежат в одной плоскости. 
Действительно, 
KN – средняя линия треугольника ABD, KN - параллельна BD, КN=BD/2. 
LM – средняя линия треугольника CBD, LM - параллельна BD, LM=BD/2. 
KN и LM параллельны, точки K, N, L, M лежат в одной плоскости. 
КN=LM=BD/2 
КNLM – параллелограмм (причём всегда, равенство диагоналей не использовали) 
Аналогично, KL=MN=AC/2. 
Т.к. AC=BD, то 
KL=LM=MN=NK. 
Параллелограмм, у которого все стороны равны – ромб.