Question

корень((12*x^2)-12) + корень(x^4-12) = x^3

Распишите подробно пожалуйста

Answer 1

Область определения уравнения:

$12x^2-12geq0;x^4-12geq0$

$(-infty;-sqrt[4]{12}]cup[sqrt[4]{12};+infty)$

Учитывая тот факт,что сумма корней есть неотрицательное число,то первый интервал можно не рассматривать,так как при возведении любого отрицательного числа в третью степень получим отрицательное число и область определения можно сократить до:

$[sqrt[4]{12};+infty)$

Возведем обе части в квадрат:

$12x^2-12+2sqrt{12(x^2-1)(x^4-12)}+x^4-12=x^6$

$2sqrt{3}sqrt{x^6-x^4-12x^2+12}=x^6-x^4-12x^2+24$

$left х[ {{sqrt{x^6-x^4-12x^2+12}=0} atop {sqrt{x^6-x^4-12x^2+12}=2sqrt{3}}} right$

Решим первое уравнение

$sqrt{x^6-x^4-12x^2+12}=0$

$x^6-x^4-12x^2+12=0$

$x^4(x^2-1)-12(x^2-1)=0$

$(x^4-12)(x^2-1)=0$

$x_1=1;x_2=-1;x_3=sqrt[4]{12};x_4=-sqrt[4]{12}$

Области определения удовлетворяет только корень $x=sqrt[4]{12}$

Решим второе уравнение

$sqrt{x^6-x^4-12x^2+12}=2sqrt{3}$

$x^6-x^4-12x^2+12=12$

$x^6-x^4-12x^2=0$

$x^2(x^4-x^2-12)=0$

Первый корень $x=0$ не удовлетворяет области определения,значит

$x^4-x^2-12=0$

Решим данное уравнение методом подстановки $x^2=t;t>0$

$t^2-t-12=0$

Единственным удовлетворяющим корнем этого уравнения будет $t=4$

Проведем обратную замену

$x^2=4$

$x_1=2;x_2=-2$

Из получившихся корней только $x=2$

удовлетворяет области определения.

Ответ:$x_1=2;x_2=sqrt[4]{12}$