Question

Найдите натуральные значения n, при которых значения выражения квадратный корень n2+39 является двузначным числом. Помогите пожалуйста, очень срочно!))

Answer 1

Пусть $displaystyle sqrt{n^2+39} =m$, 10≤m<100, $displaystyle min mathbb{N}$

Тогда n²+39 = m².

m²-n² = 39, воспользуемся формулой разности квадратов.

(m-n)(m+n) = 39

m и n это натуральные числа, поэтому их сумма будет натуральным числом, а разность может быть целой. Разложим 39 на различные нужные множители.

39 = (-1)·(-39) = 1·39 = 3·13 = (-3)·(13)

Варианты, когда оба множителя отрицательны нам не подходят т.к. один должен быть натуральным числом, то есть положительным. Остаётся два варианта 1, 39 и 3, 13.

Раз m и n натуральные числа, то их сумма обязательно больше разности, откуда составим совокупность систем и решим её.

$displaystyle begin{bmatrix}begin{Bmatrix}m-n=1rightarrow m=1+n\m+n=39qquad qquad qquad end{matrix}\ begin{Bmatrix}m-n=3rightarrow m=3+n\ m+n=13qquad qquad qquad end{matrix}end{matrix} m,nin mathbb{N}$

$displaystyle begin{bmatrix}begin{Bmatrix}m=1+n\1+n+n=39end{matrix}\ begin{Bmatrix}m=3+n\ 3+n+n=13end{matrix}end{matrix} m,nin mathbb{N}\\\ begin{bmatrix}begin{Bmatrix}n=(39-1):2=19\m=1+19=20end{matrix}\ begin{Bmatrix}n=(13-3):2=5\m=3+5=8end{matrix}end{matrix}$

Но 10≤m<100, поэтому m≠8, а значит n≠5. Остаётся один возможный вариант n=19, m=20. На всякий случай проверим:

$displaystyle sqrt{19^2+39}=sqrt{361+39}=sqrt{400}=20$

Да, всё верно.

Ответ: n = 19.