Question

Даны числа a1 , . . . , a10 . Известно, что у каждого из десяти квадратных трехчленов x2−a1x+a2 , x2−a2x+a3 , ..., x2−a9x+a10 , x2−a10x+a1 не больше одного корня. Докажите, что все числа ai не превосходят 4.

Answer 1

a1^2 <= 4a2
a2^2 <= 4a3
...
a10^2 <= 4a1

Отметим, что все ai >= 0.
Пусть A - наибольшее число из всех ai. Тогда для какого-то aj выполнено
A^2 <= 4aj <= 4A
A^2 - 4A <= 0

Если A > 4, то неравенство нарушится.