Question

На гладкой горизонтальной поверхности стола покоится горка с двумя вершинами, высоты которых h и 5/2 h (см. рисунок). На правой вершине горки находится шайба. От незначительного толчка шайба и горка приходят в движение, причём шайба движется влево, не отрываясь от гладкой поверхности горки, а поступательно движущаяся горка не отрывается от стола. Скорость шайбы на левой вершине горки оказалась равной υ. Найдите отношение масс шайбы и горки.

Answer 1

перепад высот начального и текущего положения шайбы составляет 5h/2 - h = 3h/2;
Трение всюду отсутствует, поэтому можно использовать закон сохранения энергии:
3mgh/2 = mu²/2 + MV²/2
M - масса горки, М - скорость горки, m - масса шайбы, слева - потенциальная энергия шайбы перед движением (относительно второй вершины подставки), справа - кинетическая энергия шайбы и подставки к моменту, когда скорость шайбы равна u, а сама шайба оказывается на второй вершине подставки.
Используем также и закон сохранения импульса
0 = mu - MV.
Первое уравнение преобразуем в следующий вид:
3gh = u² + (M/m)V²
а из второго добываем выражение для V:
V = mu/M.
Подставим последнее выражение в первое уравнение
3gh = u² + (M/m)(mu/M)²
3gh = u² + (m/M)u²
и разрешим его относительно искомого (M/m):
M/m = u²/(3gh - u²)