Question

Имеются 100 дискеток и 100 этикеток,раскрашенные в два цвета. Дубль это дискета,к которой приклеена этикетка того же цвета. Докажите,что можно добиться того, что все дубли будут одного цвета?

Answer 1

Наклеим сначала этикетки на дискетки в произвольном порядке.Предположим, что у нас образовались дубли нескольких различных цветов.Возьмем по одной дискетке-дублю двух разных цветов и обменяем их этикетки.После этого каждая из дискеток перестанет быть дублем, так что общее число дублей уменьшится на 2.Далее будем повторять эту операцию до тех пор, пока дублей различных цветов не останется.2. Докажем нужный факт индукцией по числу дискеток (при этом можно даже не обращать внимание на соответствие цветов дискеток и этикеток!).База индукции (одна дискетка) очевидна. Переход: если все k + 1 дискеток одноцветны, то и доказывать нечего.Если же есть дискетки разных цветов, то возьмем одну из них и наклеим на нее этикетку другого цвета, а для остальных k дискеток применим предположение индукции.